规律题 中考数学常见规律题的题型分类及解题策略分析

规律探索题的特点是给出若干个按一定顺序排列并有一定变化规律的数字、公式或图形，要求解题者通过观察、分析、归纳、猜想等一系列活动，找出其中蕴含的一般规律。这种新颖的探索性问题不仅能训练学生的逻辑推理能力，培养他们的创新意识和能力，而且综合性强，辨别力高，因此成为近年来数学考试的热点。

接下来，我们将结合具体题目，讨论分析规律性问题的类型以及相应的解题策略。

一、渐进变化规律

渐进性变化规律问题通常给出若干按照一定的渐进性变化规律排列的数字、公式或图形，这就要求从对这些已知量的观察和分析中找出变化的一般规律。学生很容易看到题目呈现出一系列的递进变化，但很难总结出一个统一的表达式来表达变化的一般规律，这往往与已知量的序号有关。因此，在解决这类问题时，首先要按照题目中的排列顺序对已知量进行编号；然后找出已知量的变化部分和未变化部分，分析序号与变化部分的数量关系，猜测并归纳出含n的第n个量的表达式，得到一般规律；最后用表达式代替序号计算结果，将结果与相应的数值进行比较，验证猜想的正确性，得到最终结果。

数和公式的渐进变化规律

这类规律问题通常呈现一系列按照一定的递进变化规律排列的数字、方程或代数表达式，需要一般的变化规律。解决这类问题的关键是根据前几项已知量的变化，找出对应序号之间的数量关系，进而得到变化的一般规律。

例1古希腊数学家称数字1、3、6、10、15、21、…为三角数，具有一定的规律性。如果第一个三角形表示为a1，第二个三角形表示为a2，…，第n个三角形表示为an，则计算a2-a1，a3-a2，a4-a3，…，由此计算出a100-a99=，a100=。

分析:通过观察A2-A1、A3-A2、A4-A3的结果之间的关系，...而下标，我们可以发现an-an-1=n，由此我们可以得到a100-a99的结果。根据这个定律，可以推导出an=an-1+n。通过分析a1、a2、a3、a4…的表达式，可以得出an具有自然数连续增长的规律，因此可以用连续自然数的求和公式来求解。

答案:∫A2-A1 = 3-1 = 2，A3-A2 = 6-3 = 3，A4-A3 = 10-6 = 4...

∴an-an-1=n,∴a100-a99=100。

∵an-an-1=n,∴an=an-1+n。

∴a2=1+2,a3=1+2+3,a4=1+2+3+4,…

图形变化中的数量渐进变化规律

归根结底，与图形相关的递进变化规律考察的是图案数量、图形周长或面积、线段长度等的变化规律。解决这类问题，要仔细观察并找出图形的变化和不变部分，研究图形的变化规律和变化部分的数量，找出不变部分的定数，分析变化部分的数量与图形对应的序号之间的数量关系，从而得出变化的一般规律。

例2下图是根据定律填充在正方形网格中的阴影。根据这个定律，第n图中阴影部分的小方块数为。

分析:本主题研究特定顺序下的渐进变化规律。逐一观察图案变化规律，找出图案变化的变化部分和不变部分，探索变化部分的规律。根据图中变化和不变的部分，列出前几幅图中阴影数的公式，找出公式中变化部分与对应图案序号之间的数量关系，从而得到一般规律的表达式。

答:每个图的阴影部分由上面有可变数字的矩形和下面有固定数字的矩形组成。

图1阴影数:1×2+2

图2阴影数:2×3+2

图3阴影数:3×4+2

……

图中阴影的数量N: n+2

∴第n张图阴影部分的小方块数是n2+n+2

例3有几张四边形的纸和边长为2的三角形的纸。一些纸张按照图中所示的顺序拼接在一起，可以形成一个大的平行四边形或一个大的梯形。如果四边形和三角形纸片的和是5，那么大的平行四边形或梯形的周长是；如果四边形和三角形纸片的和是n，那么大的平行四边形或梯形的周长是。

分析:本题考查算术变化规律。观察图案的生长变化过程，列出对应图案的纸张数量和周长，可以发现当纸张数量为奇数和偶数时，周长的增长具有等差规律，因此有必要讨论奇数和偶数纸张的情况。分析了两种不同情况下纸张数量与对应图形周长的定量关系，得出周长变化的一般规律。

答:根据给定的图案，当张数为5时，图案周长为2×10=20。

假设张数为n，

当n=1时，周长为8=3×1+5

当n=2时，周长为8+2=3×2+4

当n=3时，周长为8+2+4=3×3+5

当n=4时，周长为8+2+4+2=3×4+4

当n=5时，周长为8+2+4+2+4=3×5+5

……

∴当n为奇数时，周长为3n+5；当n为偶数时，周长为3n+4

综上所述，大平行四边形或梯形的周长为3n+5或3n+4。

例4如图所示，在△ABC中，≈ACB = 90，≈a = 30，BC = 1。通过点c作为C1中的CC1⊥AB，通过点C1作为C2中的C1C2⊥AC，通过点C2作为C3中的C2C3⊥AB，...，如果继续此方法，ACn=。

分析:本主题研究特定顺序下的渐进变化规律。在复杂几何图形的变化中，利用相关的几何知识计算出AC1、AC2、AC3……的长度，并观察这些数值的变化规律，找出数值的变化和不变部分，分析变化部分与c下标的定量关系，从而得到ACn的表达式。

回答:∫≈ACB = 90，≈A = 30，BC=1，

∴△ac1c∽△acb C1区的∵CC1⊥AB

∵C1C2⊥AC,C2C3⊥AB，

同样地，

∴遵守ac1、ac2、ac3定律...

图表中数字的渐进变化规律

这类问题的规律在于图表中的数字变化。解决问题的关键在于找到图表中每一行和每一列的数字之间的关系和排列顺序，以及行和列之间的关系。此外，还要观察图表中的数字与其所在的列数和行数之间的数量变化规律。

例5根据图的规则排列从1开始的连续自然数:规定第m行第n列的自然数10表示为…根据该规则，自然数2018表示为。

分析:通过观察表格中的数据，我们可以看到每行有4个数字，奇数行和偶数行的数字排列不同。根据这些规则，我们可以计算出2018所在的行数和列数。找出奇数行和偶数行的数字顺序是解决这个问题的关键。

答:表中每行4个数字，奇数行的数字从左到右按从小到大的顺序排列；偶数行中的数字从左到右按降序排列。

∵2018÷4=504……2,504+1=505

∴2018在505线

奇数行中的数字按从小到大的顺序从左到右排列

2018年∴自然数记录为。

二、循环变化规律

循环律题中数字、公式、图形或坐标的变化都有循环律，有一定的排列顺序和固定的循环，按照特定的循环区间出现。解决这类问题，首先要找出题目中的循环规律和循环周期，搞清楚循环周期内量的个数和变化规律，然后根据实际问题找出循环周期的个数和余数，最后根据题目的要求和得到的数据求解答案。

数字和公式的循环变化规律

这类题目中有一系列数字或代数表达式。计算并观察题目规则前几项的结果。当发现这些数或代数表达式有循环规律时，根据题目要求找出循环周期，计算循环周期的个数和余数，是解决这类问题的关键。

示例6观察到以下等式:3=1，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，...，根据这一数字得出的结果为3+31+32+...可以获得+32018。

分析:题目要求3+31+32+...+32018.首先，观察3，31，32，33，34，35，...找出个位数的周期。然后计算一个周期内所有数字之和的个位数，再计算3+31+32+会经历多少个周期...+32018，余数是多少，然后得到题目的结果。本课题主要考察数字变化规律中尾数变化的特点，找出尾数变化的循环规律是解决问题的切入点。

答案:∫3 = 1，31 = 3，32 = 9，33 = 27，34 = 81，35 = 243，

∴个位数1、3、9和7是一个周期

∫1+3+9+7 = 20，∴循环中四个数相加得到的一位数是0

∵÷4=503……3

∴1+3+9=13

∴ 3+31+32+结果的个位数...+32018是3。

例7:如果是，a2011的值为。

分析:如果题目需要a2011的值，就要找出a1，a2，a3，…an的变化规律。首先根据已知的条件，将每个结果依次代入下面的代数表达式，得到a1，a2，a3的结果。然后观察a1、a2、a3的变化规律...，求出代数表达式的循环周期，然后计算a2011经历的循环周期的个数和余数，得到a2011的值。本课题考查代数表达式的迭代计算和变化规律，正确计算a1、a2、a3、…对应的代数表达式是找到规律的关键。

回答:

这三个代数表达式是一个循环

∵2011÷3=670……1

∴a2011的价值在于

图形变化中的坐标循环变化规律

这类规律问题通常要求连续变化图形中某一点的坐标，在某一点变化的过程中，坐标对应的数有一个循环变化规律。解题的关键在于仔细观察图形变化的特点，计算分析某一点变化中横坐标或纵坐标的规律，找出循环周期，根据题目的要求计算出循环周期的个数和余数，进而得出所需的坐标。

例8如图所示，方形铁件OABC放置在平面直角坐标系中，顶点A的坐标为，点P在方形铁件上，方形铁件绕着方形铁件右下角的顶点顺时针旋转90度，第一次旋转到图形位置，第二次旋转到图形位置…，然后在方形铁件连续旋转2017次后，点P的坐标为。

分析:需要旋转2017次后的P点坐标。根据旋转的性质，P点对应的坐标旋转一次、两次、三次等。并且应该找到它们的变化规律。通过观察可以发现，这些坐标的横坐标有一个周期，横坐标也有以周期为单位的算术增长规律，据此可以得出问题的答案。本课题考察图形旋转的本质和坐标变化的规律，找出横坐标和纵坐标变化的规律是解决这一问题的关键。

答:第一轮:P1

第二轮:P2

第三轮:P3

第四轮:P4

第五轮:P5

……

发现点P的纵坐标以一个周期旋转四次。

∵2017÷4=504……1

∴∴p2017的纵坐标与P1相同，是2。

∫P点的初始横坐标为1，P点向右移动4个单位长度旋转一次，P点向右移动12个单位长度旋转4次

∴P2017的横坐标是1+12×504+4=6053

∴连续旋转2017次后p点的坐标为。

法律探索问题的分类和解决方式还有很多。本文只总结了一些常见的问题和解决问题的方法。总之，规律探究的题目类型和相应的解题策略的研究，有助于教师进行更有针对性的专题教学，开拓学生思维，提高学生的创新能力和解题综合能力，使学生掌握此类问题的类型和解决方法，在平时的训练和考试中更顺利地克服困难，增强学生的学习信心。